En kvadrat är en cirkel med fyra hörn…

En dag kom min dotter hem och undrade varför volymen av en kon inskriven i volymen av en cylinder – har samma volymetriska proportioner som en pyramid inskriven i en kub? (De har nämligen – trots sitt visuella yttre – samma proportionerna => 1/3).

Efter att ha tittat på några olika förklaringar på nätet med diverse matematiska formler, kände jag att det ändå inte riktigt förklarade varför.

Om vi börjar i botten av både pyramiden och konen, så delar de tillsammans med den volym som de är inskrivna i samma bottenarea. Arean i botten är alltså 100% av vad den totala (omslutande) volymens bottenarean är för både konen och pyramiden.

Vidare, om vi går upp i toppen, där både konen och pyramiden är väldigt spetsiga, så är både pyramidens och konens area av toppen 0%.

Både pyramiden och konen går alltså från 100% av arean till 0% av arean när vi följer höjdaxeln.

Vad är då arean om vi går till hälften av höjden? Intuitivt tycker man att det borde hända något konstigt där, och det gör det. Vid halva höjden har både konen och pyramidens utsträckning krympt till hälften. Radien för konen har blivit hälften så lång, och pyramidens sida har blivit hälften så bred. Vad händer då med arean för konen och pyramiden? Ja, den visar sig vara samma för båda. 1/4 av den omslutande arean.

Varför blir det då samma area? Ja, alltså, man kan säga att det beror på det här. Proportioner är alltid proportioner, oavsett om man rör sig i 1,2 eller 3 dimensioner. Om man befinner sig på halva avståndet av en linje så är det alltid hälften.

Tänk dig att du drar ett gummiband från centrum, längs kvadratens ytterkanter och samtidigt håller koll på vart gummibandets mittpunkt befinner sig. Mittpunkten följer alltid den inre formen. Både på cirkeln och kvadraten. Det här förklarar också varför spetsen, eller centrum, kan placeras var som helst i den omslutande volymen med bibehållen proportion, så länge radien(gummibandet) aldrig skär konturen. Spetsen på pyramiden kan alltså sättas i kubens ena hörn, och volymen utgör fortfarande 1/3.

Så den slutgiltiga förklaringen på det här problemet är att ibland har en kvadrat med fyra hörn, samma egenskaper som en cirkel, eftersom proportioner alltid är proportioner, hur konstigt det än kan verka.